Leyes de los exponentes
Corresponde a la sesi�n de GA 2.2 A TODA LEY
A la operaci�n matem�tica que representa, en forma abreviada, la multiplicaci�n de factores iguales se le llama
potenciaci�n.
La potenciaci�n, como expresi�n algebraica, la conforman los siguientes elementos:
Con base en esta definici�n es posible entender las leyes de los exponentes.
Primera ley: Producto de potencias con la misma base.
Por la definici�n de potencia se tiene:
donde
a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
=
Al generalizar se afirma que:
El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. |
Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base
Ejemplo:
Por la definici�n de potencia se tiene:
Al cancelar factores iguales queda:
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. |
Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:
De lo que se concluye que:
Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo |
Tercera ley: Potencia de una potencia
Ejemplo:
Por la definici�n de potencia se tiene:
Generalizando se tiene que:
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes. |
Cuarta ley: Potencia de un producto
Al aplicar la definici�n de potencia:
Aplicando la ley conmutativa:
(ab)� = a � a � a � b � b � b
Y como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:
Generalizando, se tiene que:
La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores |
Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia
Ejemplo:
Aplicando la definici�n de potencia:
Abreviando la multiplicaci�n de fracciones:
Al generalizar se tiene que:
Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente. |
Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:
Pero el cociente de la divisi�n (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:
De donde se generaliza que:
| Todo n�mero diferente de cero con exponente 0 es igual a 1 |
Si se tiene la expresi�n:
Aplicando la definici�n de potencia:
Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:
| Todo n�mero elevado a la primera potencia es igual que ese mismo n�mero |
Menci�n especial merece el caso de la potenciaci�n con exponente fraccionario.
Ejemplo:
Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:
Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:
Por la propiedad transitiva:
Si se extrae la ra�z cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:
Al eliminarse la ra�z y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que:
No hay comentarios:
Publicar un comentario